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更新时间:2019-09-11点击次数:

  3.4 三维晶格振动_物理_天然科学_专业材料。3.4 三维晶格振动 格波量子-声子 一、三维晶格振动 ? ? ? ? ? 晶体中有N个元胞,每个元胞中有n个原子 元胞的: = 1 1 + 2 2 + 3 3 第j个原子质量: 晶体位移矢量

  3.4 三维晶格振动 格波量子-声子 一、三维晶格振动 ? ? ? ? ? 晶体中有N个元胞,每个元胞中有n个原子 元胞的: = 1 1 + 2 2 + 3 3 第j个原子质量: 晶体位移矢量分量: 系统动能: 1 2 = 2 ? 系统势能 1 = 2 ′ , ′ , ′ 2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ 0 一、三维晶格振动 ? 活动方程 = ? ,′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ 其华夏子力 ,′ ′ ′ 2 ≡ ′ ′ ′ 0 只取决于两个元胞之间的相对,而取他们之间的绝对位 置无关,即 ,′ ′ ′ = ′ ′ ( ? ′ ) 活动方程改写为 = ? ′ ′ ′ ′ ′ ( ? ′ )′ ′ ′ 一、三维晶格振动 ? 令格波解 = ? ? 代入活动方程 2 ? ? = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ( ? ′ ) ?′ ? 获得 而 2 = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ??R ′ ′ ≡ 是 ′′ 的傅里叶变换,它构成一个3n阶矩阵,称为动力学矩 阵 一、三维晶格振动 ? 新方程组有解的前提是系数行列式为0 ′ ′ ? ′ ′ 3×3 =0 能够解出3n个色散关系 ? 三支声学波 – 正在布里渊区高对称点或连线上:两支横波,一支纵波 ? 3n-3支光学波 – 正在布里渊区高对称点或连线支纵波 一、三维晶格振动 ? 容易证明 ′ ′ + ? = ′ ′ ( ) 于是 = ( + ? ) 同时留意到 ? = (+? )? 所以的波矢该当正在一个倒格子元胞范畴内,凡是 选择正在第一布里渊区内 纵波:原子振动标的目的取波标的目的分歧 横波:原子振动标的目的取波标的目的垂曲 对于声学支: 横声学支(Transverse acoustic branch,TA) 纵声学支(Longitudinal acoustic branch,LA) 对于光学支: 横光学支(Transverse optic branch,TO) 纵光学支(Longitudinal optic branch,LO) 纵振动 横振动 声学 质心活动 光学 原子的相对活动 以金刚石为例,可将上述会商愈加具体化。金刚石是复式格 子,每一个原胞中有两个原子,有3支声学波和3支光学波。对 于某一标的目的,频次?和波矢q的关系曲线如图所示。 光学波的频次随q变化很小,正在现实计较中,将其视为取波矢q 无关的。正在三支声学波中一支是纵波,两支是横波。 当q 很小时, ? 取q 成比例,这时,声学波取弹性波一样,波速为 ,并且就是弹性波的速度。 频次? 和波矢q的关系 曲线] 轴两支横波简并。 (图中横坐标以2?/l为单 位,此中l代表相关轴 向的格点间距) 一、三维晶格振动 – 鸿沟前提 ? 设晶体是一个法则的平行六面体,棱沿三个基矢 (1 , 2 , 3 ),长度(1 1 , 2 2 , 3 3 ),元胞数(N1 N2 N3 ) ? 晶体体积为 = 1 1 ? 2 2 × 3 3 = Ω ? 冯恩-冯卡门鸿沟, = +, ,将其代入格波解 (? ?) = (? + ?) 这要求 ? ≡ 1 ? 1 1 = 2?1 ? 2 2 = 2?2 ? 3 3 = 2?3 ? = 2? 一、三维晶格振动 – 鸿沟前提 ? 能够选择波矢 ?1 ?2 ?3 = + + = 1 1 2 2 3 3 ? 由于 ∈ 1,所以 ? ? ≤ 2 2 的波矢数: 波矢密度: Ω? = 3 =1 2 3 = 1 2 3 = (元胞数) 格波数:3 弥补:关于波矢q (1)一维 m ? ? 2? q ? m, q ? b , Na Na N m = 0 , ±1 , ±2 ... 一个 m 值对应一个q 点,波矢取分手值,平均分布相 邻 q 点 “距离”为 2? ,一个 q 点的“长度”为 2? q 空间中波矢q 的密度 = Na 2? Na 第一布里渊内 q 点的取值数= 2? 2? a ? N 2? Na Na ?? a o q ? a N个原子构成的一维单原子链 ? ? ?q ? 第一布区 ? a a 2? Na 相邻 q 点距离 Na 2? ? ? a o ? a 第一布区内,波矢 q 可取值数 ? 2? a 2? Na ? N (N=初 基元胞数=原子数) 一维 q 的 ? 取值 q ? 2? 二维 三维 Na ?? a m1 ? m2 ? ? ? m1 ? m2 ? m3 ? m ? q ? b1 ? b2 q ? b1 ? b2 ? b3 b N1 N2 N1 N2 N3 N qy qz q qx ? a qy 一个q点占的体积 2? Na ? 2? ?2? ? S 2 ?2? ? V V 3 L q点的密度 L 2? ?2? ? S 2 ?2? ? 3 二、格波量子 – 声子 ? 一个的格波等价于简正坐标 描述的谐振子,能量 本征值为 1 = + ? 2 能量是量子化的,定义格波的量子为声子 ? 正在温度T达到热均衡时,? 振子具有 个声子的概率 = ? ? / ? ? 麦克斯韦尔 ? 玻尔兹曼分布: = ? ? , gi 是简并度。 二、格波量子 – 声子 ? 一个振子的平均声子占领数是 = = = ? ? / ? ? =? = 1 ln ? 1 ? ? =? 1 ln 1 ? ?? ? ? ?1 ? 平均热激发能量: = = + 1 ? 2 ? 总平均声子数: = , ? 平均热激发能: = , + 1 2 ? 二、格波量子 – 声子的准动量 ? 一维单原子链,晶体的物理动量 = ? ? 具有N个原子的一位原子链载有一种q波矢声子时,系统单模 激发的原子位移为 = ? = 获得 = ? ? = ? ,0 ? 全数动量来自 = 0的这一模式 晶格振动的尝试不雅测 ? 辐射波映照晶体后,因为和晶格振动发生 了能量互换,接收或者激发出一个声子而 改变能量和标的目的。测出辐射波的能量和方 向的变化量,即可确定一个声子的能量和 波矢。 确定声子的波矢: = 0 + ? 0 = ±? ( ) 确定声子的频次: 非弹性X-射线散射 ? X 射线是正在同振动着的晶格发生感化,因而除了衍射 现象外,电磁波还会和晶格发生能量的互换,入射波 接收或者发射一个声子而发生能量和波矢的变化,这 就是X射线的非弹性散射。 ? 因为X 射线 eV )弘远于声子频次(0.03eV) 确定波矢: = 0 + 2 确定频次: q ? 20 sin ? 0 = ±? () ? 0 = ?0 0 光子散射法 辐射波 X射线 可见光 声子 能量 (eV) 约10 几个 10-2 波矢 (cm-1) 108 105 108 ? X射线)和布里渊区接近。 ? 激光可见光源的能量降低了,但波矢(105 cm-1)也降低了,和 晶体的布里渊区比小了。 ? 因此,光散射只能和长波声子,即接近布里渊区心的声子发生 彼此感化,涉及光学声子的称Raman 散射,涉及声学声子的称 Brilouin散射。 ? 远红外和红外接收光谱也只能测光学声子。 ? 测定的晶格振动谱只是长波附近很小的一部门声子。 非弹性中子散射 ? 红外接收和喇曼散射光谱只能研究布里渊区核心附近 的光学振动模,而不克不及研究整个布里渊区内全数的振 动模。后者要由非弹性中子散射来实现。 ? 波长为0.1nm的中子,能量约为82 meV, 波长取原子间距相当,能量也和原子振动相当。 ? 利用中子束探测声子时,能够便利的正在整个布里渊区 内进行,是目前尝试研究晶格振动最全面、最主要的 手段,两位斥地中子散射手艺的带头人因而获得了 1994年的Nobel物理学。 ? Brockhouse :非弹性中子散射正在凝结态物质中的使用 ? Shull:弹性中子散射正在凝结态物质中的使用 ? 中子和声子的感化关系 ? k,k0 别离是中子散射束和入射束的波矢, mN 是中子的质量 ? 这种非弹性过程的丈量一般通过中子三轴谱仪进行,使 用单晶样品,正在选定的从轴标的目的上,一一测定超卓散关 系。目前绝大大都材料的色散关系都是由非弹性中子散 射来完成的。